INDUKSI MATEMATIKA

 Nama: Maulana Kurniawan

Kelas: XI IPS 3

Induksi matematika adalah suatu metode yang biasanya digunakan untuk pembuktian deduktif dimana sering digunakan dalam membuktikan suatu pernyataan di bidang matematika yang berhubungan dengan himpunan bilangan tertentu dengan terurut rapi.

Contoh dari bilangan tersebut adalah bilangan asli ataupun himpunan bilangan bagian tak kosong dari suatu bilangan asli.

Induksi matematika bukanlah metode yang digunakan untuk merumuskan suatu masalah tertentu, melainkan induksi matematika ini digunakan untuk membuktikan dan mengecek suatu rumus atau pernyataan tertentu sehingga bisa diketahui kebenarannya.

Jadi bisa disimpulkan jika Induksi matematika ini tidak dapat digunakan sebagai metode penurunan rumus.

Di bawah ini merupakan beberapa contoh mengenai pernyataan matematika yang dapat kita buktikan dengan menggunakan induksi matematika mengenai kebenarannya. Rumus matematika untuk induksi matematika :

P(n) = 2 + 4 + 6 + 8 … + 2n = n(n + 1),dimana n merupakan suatu bilangan asli.

P(n) = 6n + 4 dimana nilai tersebut habis jika dibagi 5 dan untuk n merupakan suatu bilangan asli.

P(n) = 4n < 2n, dimana untuk semua bilangan asli adalah n ≥ 4.

Pembuktian Induksi Matematika Deret

Untuk memulai pembuktian deret induksi matematika kalian perlu memperhatikan beberapa hal yang berhubungan dengan bilangan deret, seperti misalnya yang ada di bawah ini

Jika P(n) = u1 + u2 + u3 + u4 … + un = Sn , maka P(1) : u1 = S1

Jika P(k) : u1 + u2 + u3 + u4 … + uk = Sk, maka P(k + 1) : u1 + u2 + u3 + u4 … + uk + uk+1 = Sk+1

Contoh Soal Induksi Matematika Deret #2

Silakan kalian buktikan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2n − 1) = n2 , jika untuk seluruh n merupakan bilangan asli.

Pembahasan :

P(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2n − 1) = n², hal tersebut bisa kita mulai buktikan dengan P(n) dinyatakan benar jika untuk seluruh n ∈ N.

Langkah pertama yaitu menunjukan jika P(1) benar. 1 = 1², hingga kemudian kita dapatkan jika P(1) benar.

Langkah induksi yaitu mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2k − 1) = k², k ∈ N, apabila seluruh k ∈ N. Sehingga hal tersebut dapat menunjukan jika P(k + 1) juga bisa dinyatakan benar sehingga menghasilkan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2² dari asumsi tersebut maka dapat menghasilkan lagi 1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k².

Kemudian selanjutnya kamu bisa melakukan penambahan di kedua ruas dengan uk+1, seperti pada contoh berikut di bawah ini :

1 + 3 + 5 + 7 + 9 +… + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + (2(k + 1) − 1)

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + 2k + 1

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Dengan begitu bisa disimpulkan jika P(k + 1) dapat dinyatakan benar, dimana P(n) merupakan benar untuk seluruh n bilangan asli.

Contoh Soal Keterbagian Induksi Matematika #1

Silakan kalian buktikan jika nilai dari 6n + 4 akan habis jika dibagi dengan angka 5, untuk seluruh n merupakan bilangan asli.

Jawaban :

P(n) : 6n + 4 akan habis jika dibagi dengan angka 5, hal tersebut bisa kita mulai buktikan dengan P(n) dinyatakan benar jika untuk seluruh n ∈ N.

Langkah pertama yaitu menunjukan jika P(1) benar. 6¹ + 4 = 10 yang dimana nilai tersebut akan habis jika dibagi dengan 5, hingga kemudian kita dapatkan jika P(1) benar.

Langkah induksi yaitu mengibaratkan jika P(k) dapat dinyatakan benar, 6k + 4 akan habis jika dibagi dengan angka 5, apabila seluruh k ∈ N. Sehingga hal tersebut dapat menunjukan jika P(k + 1) juga bisa dinyatakan benar sehingga menghasilkan 6k+1 + 4 akan habis jika dibagi dengan angka 5 dari asumsi tersebut maka dapat menghasilkan lagi 6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4 atau bisa juga dengan 6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4.

Hal tersebut tentu saja dikarenakan nilai dari 5(6k) akan habis jika dibagi dengan angka 5 ataupun 6k + 4 juga akan habis jika dibagi dengan angka 5, sehingga dapat disimpulkan jika 5(6k) + 6k + 4 juga akan habis ketika dibagi dengan angka 5.

Jadi dapat dinyatakan jika P(k + 1) benar. Dari prinsip induksi matematika keterbagian tersebut sudah terbukti jika 6n + 4 akan habis ketika dibagi dengan angka 5, apabila seluruh nilai n adalah bilangan asli.

Nilai dari suatu bilangan bulat a akan habis ketika dibagi dengan nilai bilangan bulat b apabila di dapati nilai bilangan bulat m, yang dimana akan berlaku a = bm.

Contohnya adalah 15 akan habis jika dibagi dengan angka 3, hal tersebut benar dimana terdapat bilanga bulat m = 5, yang dapat memberlakukan 15 = 3.5

Berikut di bawah ini merupakan beberapa kegunaan Induksi Matematika bagi manusia.

Sebagai metode untuk melatih kita supaya bisa berpikir secara logis.

Sebagai salah satu teknik atau metode untuk membuktikan kebenaran mengenai suatu pernyataan yang ada.

Induksi matematika dapat digunakan untuk alat pembuktian pernyataan umum..

Induksi matematika bisa digunakan sebagai suatu metode untuk mengecek hasil dari suatu proses, dimana proses tersebut terjadi secara berulang kali dengan pola tertentu.

A. Metode pembuktian induksi matematika 

Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian dalam matematika. Secara umum, Induksi matematika merupakan metode untuk membuktikan bahwa suatu sifat yang didefinisikan pada bilangan asli adalah bernilai benar untuk semua nilai yang lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan asli tertentu.

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C”. Nah, untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Supaya nggak bingung, kita langsung coba buktikan pernyataan ini.

“Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”

Ya... kalau kita pikir-pikir, pasti sih, 2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14. Tapi, gimana ya buat bisa membuktikan kalau pernyataan itu berlaku buat semua bilangan genap? Pembuktiannya begini:

Jadi, pertama kamu definisikan dulu tuh bilangan genap itu seperti apa. Misalnya, ada bilangan genap sembarang m dan n. Dari definisi bilangan genap, m dan n dapat ditulis:

m = 2k, dengan k adalah suatu bilangan bulat.

n = 2i, dengan i adalah suatu bilangan bulat.

Bila definisinya sudah benar, kita ke pernyataan selanjutnya. Karena kita ingin membuktikan jumlah dua bilangan genap, maka berdasarkan definisi di atas, jumlah dua bilangan genap bisa kita jabarkan seperti ini:

m + n = 2k + 2i

Kemudian, kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlahan itu agar bisa mendapat bentuk yang diinginkan. m + n = 2k + 2i bisa kita ubah menjadi 2 (k + i), dengan (k + i) juga bilangan bulat.

m + n = 2k + 2i = 2 (k + i), dengan (k + i) bilangan bulat.   

Setelah itu, lanjut deh ke kesimpulan. Ingat lho, kesimpulannya harus berdasarkan pernyataan sebelumnya. m + n dapat ditulis menjadi 2 kali suatu bilangan bulat (k + i). Sesuai definisi bilangan

B. PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKAInduksi matematika merupakan sebuah teknik pembuktian pernyataan yang berkaitan dengan objek diskrit yang sangat penting. Penerapan induksi matematika di dalam matematika yang menjadi pokok bahasan utama untuk menjabarkan bagaimana induksi matematika dapat membuktikan sebuah masalah matematika.

C. Latihan soal

Tunjukkan bahwa setiap bilangan asli lebih dari 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali atas faktor-faktor primanya.

Pembahasan:

Misalkan P adalah pernyataan bahwa setiap bilangan asli lebih dari 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali atas faktor-faktor primanya. Tentu saja P(2) benar.

Andaikan P(3), P(4), P(5), ..., P(k) benar. Bagaimana menunjukkan bahwa P(k+1) juga benar?

Jika (k+1) adalah bilangan prima, maka P(k+1) benar. Jika (k+1) bukan bilangan prima, maka k+1 = mn, dengan m dan n bilangan-bilangan asli kurang dari k.

Dengan pengandaian sebelumnya maka, m dan n tentu saja bisa dinyatakan sebagai produk dari bilangan-bilangan prima. Sebagai akibatnya, (k+1) juga merupakan hasil kali dari bilangan-bilangan prima.