PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
Nama: Maulana Kurniawan
Kelas : X IPS 3
Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan "depan", sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan "samping" dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan "miring", maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :
s
i
n
(
θ
)
=
d
e
p
a
n
m
i
r
i
n
g
c
s
c
(
θ
)
=
m
i
r
i
n
g
d
e
p
a
n
sin(θ)=depanmiringcsc(θ)=miringdepan
c
o
s
(
θ
)
=
s
a
m
p
i
n
g
m
i
r
i
n
g
s
e
c
(
θ
)
=
m
i
r
i
n
g
s
a
m
p
i
n
g
cos(θ)=sampingmiringsec(θ)=miringsamping
t
a
n
(
θ
)
=
d
e
p
a
n
s
a
m
p
i
n
g
c
o
t
(
θ
)
=
s
a
m
p
i
n
g
d
e
p
a
n
tan(θ)=depansampingcot(θ)=sampingdepan
Keterangan :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen
Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.
Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :
Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis
c
s
c
(
θ
)
=
1
s
i
n
(
θ
)
csc(θ)=1sin(θ)
Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis
s
e
c
(
θ
)
=
1
c
o
s
(
θ
)
sec(θ)=1cos(θ)
Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis
c
o
t
(
θ
)
=
1
t
a
n
(
θ
)
cot(θ)=1tan(θ)
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis
t
a
n
(
θ
)
=
s
i
n
(
θ
)
c
o
s
(
θ
)
)
tan(θ)=sin(θ)cos(θ))
sehingga
c
o
t
(
θ
)
=
c
o
s
(
θ
)
s
i
n
(
θ
)
cot(θ)=cos(θ)sin(θ)
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !
Perhatikan segitiga ABC
AC =
√
(
√
3
)
2
+
1
2
(3)2+12 = 2
Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) =
d
e
p
a
n
m
i
r
i
n
g
depanmiring =
A
B
A
C
ABAC =
√
3
2
32
cos(α) =
s
a
m
p
i
n
g
m
i
r
i
n
g
sampingmiring =
B
C
A
C
BCAC =
1
2
12
tan(α) =
d
e
p
a
n
s
a
m
p
i
n
g
depansamping =
A
B
B
C
ABBC =
√
3
1
31 =
√
3
3
csc(α) =
m
i
r
i
n
g
d
e
p
a
n
miringdepan =
A
C
A
B
ACAB =
2
√
3
23 =
2
√
3
3
233
sec(α) =
m
i
r
i
n
g
s
m
p
i
n
g
miringsmping =
A
C
B
C
ACBC =
2
1
21 = 2
cot(α) =
s
a
m
p
i
n
g
d
e
p
a
n
sampingdepan =
B
C
A
B
BCAB =
1
√
3
13 =
√
3
3
33
Perhatikan segitiga PQR
QR =
√
(
√
2
)
2
−
1
2
(2)2−12 = 1
Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) =
d
e
p
a
n
m
i
r
i
n
g
depanmiring =
Q
R
P
R
QRPR =
1
√
2
12 =
√
2
2
22
cos(β) =
s
a
m
p
i
n
g
m
i
r
i
n
g
sampingmiring =
P
Q
P
R
PQPR =
1
√
2
12 =
√
2
2
22
tan(β) =
d
e
p
a
n
s
a
m
p
i
n
g
depansamping =
Q
R
P
Q
QRPQ =
1
1
11 = 1
csc(β) =
m
i
r
i
n
g
d
e
p
a
n
miringdepan =
P
R
Q
R
PRQR =
√
2
1
21 =
√
2
2
sec(β) =
m
i
r
i
n
g
s
a
m
p
i
n
g
miringsamping =
P
R
P
Q
PRPQ =
√
2
1
21 =
√
2
2
cot(β) =
s
a
m
p
i
n
g
d
e
p
a
n
sampingdepan =
P
Q
Q
R
PQQR =
1
1
11 = 1
Jika tan(α) =
√
3
3 dan α sudut lancip, tentukan nilai dari
s
i
n
2
(
α
)
+
c
o
s
2
(
α
)
sin2(α)+cos2(α)
Penyelesaian :
tan(α) =
d
e
p
a
n
s
a
m
p
i
n
g
depansamping =
√
3
1
31
Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan =
√
3
3
samping = 1
Dengan teorema phytagoras
miring =
√
(
√
3
)
2
+
1
2
(3)2+12 = 2
Sesuai definisi
sec(β) =
2
√
3
23
tan(β) =
1
√
3
13
sec2(β) − tan2(β) = (
2
√
3
23)2 − (
1
√
3
13)2
sec2(α) − tan2(α) =
4
3
43 −
1
3
13
sec2(α) − tan2(α) = 1
Jadi, sec2(β) − tan2(β) = 1
Komentar
Posting Komentar